（两会受权发布）中华人民共和国宪法

P?i této transformaci obrazu Mony Lisy byl obraz deformován takovym zp?sobem, ?e se směr ani velikost mod?e znázorněného vektoru nezměnila. (o?íznutím roh? na pravém obrázku se nezabyváme). Modry vektor je pak vlastním vektorem transformace, zatímco ?erveny nikoliv. Proto?e modry vektor nezměnil délku, jeho vlastní ?íslo je 1. V?echny vektory v tomto směru jsou vlastní vektory se stejnym vlastním ?íslem a tvo?í podprostor vlastního prostoru tohoto vlastního ?ísla.

百度 我们建议把相关的行政处罚权集中到一个部门，避免再出现你推我我推你的情况。

Vlastní vektor lineárního operátoru je nenulovy vektor, jeho? směr se uplatněním operátoru nemění; m??e se měnit jeho velikost a orientace, co? lze interpretovat jako násobení nenulovym skalárem. Tento skalár se nazyvá vlastní ?íslo (té? vlastní hodnota nebo charakteristické ?íslo) p?idru?ené ?i p?íslu?né uva?ovanému vlastnímu vektoru. Geometricky se transformace vlastního vektoru operátorem projeví zvět?ením/zmen?ením vektoru bu? bez změny orientace (kladné vlastní ?íslo) nebo s obrácením orientace (záporné vlastní ?íslo). Mno?ina vlastních vektor?, které nále?í stejnému vlastnímu ?íslu, se nazyvá vlastní prostor operátoru p?idru?eny k danému vlastnímu ?íslu.

Vlastní vektor m??e mít v konkrétních aplikacích i jiná ozna?ení, je nap?íklad zvykem ?íkat vlastní ?e?ení (pokud je vektor ?e?ením nějaké rovnice), vlastní funkce (pokud jde o funkci), vlastní stav (pokud vektor popisuje kvantovy stav) apod.

Vlastní ?ísla a vlastní vektory hrají d?le?itou roli nejen v lineární algeb?e, ale i funkcionální analyze, kybernetice nebo v kvantové fyzice.

Definice a zna?ení

Vlastní vektor lineárního operátoru ${\boldsymbol {A}}$ je takovy nenulovy vektor ${\boldsymbol {u}}$, pro ktery existuje ?íslo $\lambda$ tak, ?e platí:

${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {u}}=\lambda {\boldsymbol {u}}$.

?íslo $\lambda$ se nazyvá vlastní ?íslo (té? charakteristické ?íslo) operátoru ${\boldsymbol {A}}$ a ${\boldsymbol {u}}$ vlastní vektor operátoru ${\boldsymbol {A}}$ p?íslu?ny vlastní hodnotě $\lambda$.

V kvantové mechanice se ?asto lze setkat se zápisem ${\hat {\boldsymbol {A}}}{\boldsymbol {u}}=A{\boldsymbol {u}}$ anebo ${\hat {\boldsymbol {A}}}\,|{\boldsymbol {u}}\rangle =A\,|{\boldsymbol {u}}\rangle$ kde ${\hat {\boldsymbol {A}}}$ ozna?uje operátor a $A$ p?íslu?né vlastní ?íslo. Operátor ${\hat {\boldsymbol {A}}}$ je ?asto diferenciální operátor na nějakém prostoru funkcí nebo distribucí.

Vypo?et vlastních ?ísel a vlastních vektor? matice

Nech? ${\boldsymbol {A}}$ je zadaná reálná nebo komplexní ?tvercová matice $n\times n$, ${\boldsymbol {u}}$ je sloupcovy vektor délky $n$ a $\lambda$ je reálné nebo komplexní ?íslo. Rovnice ${\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {u}}=\lambda {\boldsymbol {u}}$, její? levou stranu chápeme jako násobení matice vektorem a pravou stranu jako násobení skaláru vektorem, obsahuje známou matici ${\boldsymbol {A}}$ a neznámé veli?iny ${\boldsymbol {u}}$ a $\lambda$. Tato maticová rovnice se dá p?epsat jako soustava lineárních rovnic

$\sum _{j=1}^{n}a_{ij}u_{j}=\lambda u_{i}$

pro $i=1,2,\cdots ,n$.

Proměnnou ${\boldsymbol {u}}$ na pravé straně lze pomocí Kroneckerova delta vyjád?it jako

$u_{i}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}\delta _{ij}$

Dosazením do p?edchozího vztahu pak dostaneme

$\sum _{j=1}^{n}(a_{ij}-\lambda \delta _{ij})u_{j}=0$,

co? lze vyjád?it maticově jako

$({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {E} )\cdot {\boldsymbol {u}}=\mathbf {0}$,

kde $\mathbf {E}$ je jednotková matice. Na tento vztah lze nahlí?et jako na homogenní soustavu lineárních algebraickych rovnic o $n$ neznámych. Ta má netriviální (nenulové) ?e?ení právě tehdy, kdy? je matice soustavy singulární, tzn. platí

$\det({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {E} )=0$,

co? lze rozepsat

${\begin{vmatrix}a_{11}-\lambda &a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}-\lambda &\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}-\lambda \end{vmatrix}}=0$.

Tato rovnice se nazyvá charakteristická rovnice. Rovnice podobného typu byvají také ozna?ovány jako sekulární rovnice, proto?e d?íve slou?ily k vypo?t?m pohyb? planet (jejich odchylek od eliptickych drah).

Polynom na levé straně této rovnice se nazyvá charakteristicky polynom matice ${\boldsymbol {A}}$ a jeho ko?eny jsou vlastními ?ísly matice ${\boldsymbol {A}}$. Proto má matice ${\boldsymbol {A}}$ v?dy $n$ vlastních ?ísel, z nich? se některá mohou opakovat. Po?et opakování, tj. násobnost ko?ene charakteristického polynomu nazyváme algebraickou násobností vlastního ?ísla.

Vlastní vektory matice ${\boldsymbol {A}}$ vyhovují rovnici $({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {E} )\cdot {\boldsymbol {u}}=\mathbf {0}$ pro jednotlivá vlastní ?ísla.

Libovolny nenulovy násobek vlastního vektoru je rovně? vlastním vektorem, není v?ak pova?ován za jiny vlastní vektor. Ke ko?enu charakteristického polynomu násobnosti $m$ existuje nejvy?e $m$ vzájemně lineárně nezávislych vlastních vektor?. Po?et lineárně nezávislych vlastních vektor? odpovídajících vlastnímu ?íslu $\lambda$, tj. $\mathrm {dim} (\operatorname {ker} ({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {E} ))$, kde $\operatorname {ker}$ zna?í jádro matice, se nazyvá geometrická násobnost vlastního ?ísla.

Vztah mezi algebraickou a geometrickou násobností lze snadno nahlédnout pomocí Jordanova rozkladu matice.

P?íklad

Ur?ete vlastní ?ísla a vlastní vektory matice

${\begin{pmatrix}3&-1\\2&0\end{pmatrix}}$

Charakteristická rovnice má tvar

${\begin{vmatrix}3-\lambda &-1\\2&-\lambda \end{vmatrix}}=0$.

Po jejím rozepsání (tedy jednodu?e vy?íslíme determinant a polo?íme jej roven nule) dostaneme kvadratickou rovnici

$\lambda ^{2}-3\lambda +2=0\,$

?e?ením této rovnice získáme vlastní ?ísla

$\lambda _{1}=2,\lambda _{2}=1\,$

Vlastní vektor ${\boldsymbol {u}}_{1}$ p?íslu?ny vlastní hodnotě $\lambda _{1}$ získáme ?e?ením soustavy lineárních rovnic

${\begin{pmatrix}3-\lambda _{1}&-1\\2&-\lambda _{1}\end{pmatrix}}\cdot {\boldsymbol {u}}_{1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-2\end{pmatrix}}\cdot {\boldsymbol {u}}_{1}=\mathbf {0}$

?e?ením této rovnice je nap?. vektor

${\boldsymbol {u}}_{1}={\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}$

Vlastní vektor ${\boldsymbol {u}}_{2}$ p?íslu?ny vlastní hodnotě $\lambda _{2}$ získáme ?e?ením soustavy lineárních rovnic

${\begin{pmatrix}3-\lambda _{2}&-1\\2&-\lambda _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\boldsymbol {u}}_{2}={\begin{pmatrix}2&-1\\2&-1\end{pmatrix}}\cdot {\boldsymbol {u}}_{2}=\mathbf {0}$

?e?ením této rovnice je nap?. vektor

${\boldsymbol {u}}_{2}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$

Vlastnosti

• Nula je vlastním ?íslem matice ${\boldsymbol {A}}$ právě tehdy, kdy? je matice singulární. Je-li matice ${\boldsymbol {A}}$ regulární, pak nula není jejím vlastním ?íslem.
• Je-li matice ${\boldsymbol {A}}$ symetrická a reálná (tj. obsahuje pouze reálná ?ísla), pak v?echna její vlastní ?ísla jsou reálná.
• Jestli?e k matici ${\boldsymbol {A}}$ existuje inverzní matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$, pak $\lambda$ je vlastním ?íslem matice ${\boldsymbol {A}}$ tehdy, je-li $\textstyle {\frac {1}{\lambda }}$ vlastním ?íslem matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$. P?itom platí, ?e vlastní vektory matice ${\boldsymbol {A}}$ odpovídající vlastnímu ?íslu $\lambda$ jsou stejné jako vlastní vektory matice ${\boldsymbol {A}}^{-1}$ odpovídající vlastnímu ?íslu $\lambda ^{-1}$.
• Pokud má matice ${\boldsymbol {A}}$ vlastní ?íslo $\lambda$ a odpovídající vlastní vektor ${\boldsymbol {u}}$, pak matice ${\boldsymbol {A}}^{2}$ má vlastní ?íslo $\lambda ^{2}$ a jemu odpovídající vlastní vektor je ${\boldsymbol {u}}$.
• Je-li vlastním ?íslem reálné matice ${\boldsymbol {A}}$ komplexní ?íslo $z$, pak je také komplexně sdru?ené ?íslo ${\overline {z}}$ vlastním ?íslem matice ${\boldsymbol {A}}$.
• Je-li lineární operátor ${\hat {\boldsymbol {A}}}$ hermitovsky, jsou v?echna vlastní ?ísla reálná.

Spektrum operátoru

Jako spektrum omezeného lineárního operátoru ${\boldsymbol {A}}$ se ozna?uje mno?ina komplexních ?ísel $\lambda$, pro které není operátor $({\boldsymbol {A}}-\lambda \mathbf {E} )$ invertovatelny. Mno?ina v?ech vlastních ?ísel tvo?í ?ást spektra operátoru. Tato ?ást se nazyvá bodové (diskrétní) spektrum. V p?ípadě kone?norozměrnych operátor? (?tvercovych matic kone?nych rozměr?) je celé spektrum bodové. U nekone?něrozměrnych operátor? mohou existovat i dal?í ?ásti spektra, které nejsou bodové.

Pokud ke ka?dému vlastnímu ?íslu $A_{n}$ p?íslu?í právě jedna vlastní funkce $u_{n}$, pak ?íkáme, ?e operátor má prosté (nedegenerované) spektrum.

Pokud některym vlastním ?ísl?m $A_{n}$ p?íslu?í několik lineárně nezávislych vlastní funkcí $u_{n\mu }$, tzn.

${\hat {\boldsymbol {A}}}u_{n\mu }=A_{n}u_{n\mu }$,

kde $\mu =1,2,...,g_{n}$, pak hovo?íme o degenerovaném spektru. Po?et lineárně nezávislych funkcí $g_{n}$ se nazyvá násobností (stupněm) degenerace.

Aplikace

Vlastní hodnoty geometrickych zobrazení

Následující tabulka obsahuje p?íklady transformací v rovině s jejich 2×2 maticemi, vlastními hodnotami a vlastními vektory.

Vlastní hodnoty geometrickych zobrazení

	Zvět?ení	R?zné zvět?ení ve směru os x a y	Rotace	Horizontální zkosení	Hyperbolická rotace
Ilustrace
Matice	${\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{pmatrix}}$
Charakteristicky polynom	$\ (\lambda -k)^{2}$	$(\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})$	$\lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1$	$\ (\lambda -1)^{2}$	$\lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1$
Vlastní hodnoty, $\lambda _{i}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=k$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}$
Algebraická násobnost, $\mu _{i}=\mu (\lambda _{i})$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$
Geometrická násobnost, $\gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})$	$\gamma _{1}=2$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	$\gamma _{1}=1$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$
Vlastní vektory	V?echny nenulové vektory	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}\end{aligned}}$	$\mathbf {u} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Charakteristická rovnice rotace je kvadratická rovnice s diskriminantem $D=-4(\sin \theta )^{2}$. Je-li θ celo?íselny násobek 180° je vlastní ?íslo +1 nebo -1. Jinak je diskriminant záporny, a obě vlastní ?ísla nejsou reálná, ale komplexní $\cos \theta \pm i\sin \theta$; v?echny vlastní vektory pak mají slo?ky, které nejsou reálnymi ?ísly, proto?e kromě uvedenych speciálních p?ípad? rotace mění směr ka?dého nenulového vektoru v rovině.

Lineární transformace, která p?evádí ?tverec na obdélník stejné plochy (anglicky squeeze mapping) má jedno vlastní ?íslo rovné p?evrácené hodnotě druhého.

Schr?dingerova rovnice

Vlnové funkce odpovídající vázanym stav?m elektronu v atomu vodíku m??eme pova?ovat za vlastní vektory Hamiltoniánu atomu vodíku stejně jako operátor momentu hybnosti. Vlnové funkce souvisejí s vlastními ?ísly, která lze interpretovat jako jejich energie (rostoucí dol?: $n=1,\,2,\,3,\,\ldots$) a moment hybnosti (rostoucí zleva doprava: s, p, d, ...). Obrázek znázorňuje druhou mocninu absolutních hodnot vlnovych funkcí. Světlej?í oblasti odpovídají vy??í pravděpodobnosti vyskytu elektronu v daném místě. Jádro atomu tvo?ené protonem je uprost?ed ka?dého obrázku.

P?íkladem rovnice s vlastními ?ísly, kde transformace $T$ je reprezentována diferenciálním operátorem, je ?asově nezávislá Schr?dingerova rovnice v kvantové mechanice:

$H\psi _{E}=E\psi _{E}\,$

kde Hamiltonián $H$ je diferenciální operátor druhého ?ádu a vlnová funkce $\psi _{E}$ je jednou z jeho vlastních funkcí odpovídajících vlastnímu ?íslu $E$ interpretovanému jako energie.

V p?ípadě, kdy nás zajímají pouze ?e?ení pro vázané stavy Schr?dingerovy rovnice, jak je tomu ?asto v kvantové chemii, budeme hledat $\psi _{E}$ v prostoru kvadraticky integrovatelnych funkcí. Proto?e tento prostor je Hilbert?v prostor s dob?e definovanym skalárním sou?inem, m??eme zavést bázi, v ní? lze $\psi _{E}$ reprezentovat jednorozměrnym polem (tj. vektorem) a $H$ maticí. To nám umo?ňuje reprezentovat Schr?dingerovu rovnici v maticovém tvaru.

Pro zápis se ?asto pou?ívá Diracova notace. Vektor, ktery reprezentuje stav systému v Hilbertově prostoru kvadraticky integrovatelnych funkcí, je reprezentován $|\Psi _{E}\rangle$. S pou?itím této notace lze Schr?dingerovu rovnici zapsat takto:

$H|\Psi _{E}\rangle =E|\Psi _{E}\rangle$

kde $|\Psi _{E}\rangle$ je vlastní stav $H$ (ktery někte?í auto?i zna?í ${\hat {H}}$) a $E$ reprezentuje vlastní ?íslo. $H$ je pozorovatelny samoadjungovany operátor, nekone?něrozměrná obdoba Hermitovské matice. Stejně jako v maticovém p?ípadě chápeme ve vy?e uvedené rovnici $H|\Psi _{E}\rangle$ jako vektor získany aplikací transformace $H$ na $|\Psi _{E}\rangle$.

Odkazy

Reference

V tomto ?lánku byl pou?it p?eklad textu z ?lánku Eigenvalues and eigenvectors na anglické Wikipedii.

Literatura

• BE?Vá?, Jind?ich. Lineární algebra. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
• HLADíK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39. 
• OL?áK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 
• MOTL, Lubo?; ZAHRADNíK, Milo?. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2025-08-14]. Dostupné online. 

Související ?lánky

• Determinant
• Matice
• Operátor
• Podobnost matic
• Schur?v rozklad
• Soustava lineárních rovnic
• Spektrum matice
• Vlastní frekvence

Autoritní data	GND: 4013802-1 LCCN: sh85041390 NLI: 987007533688705171

Portály: Matematika